重要提示

• 官方性：以下真题和答案是根据网络版回忆版整理而成，与官方试卷可能存在个别细微差异，但核心内容和考点完全一致。
• 答案：参考答案并非唯一标准解法，部分题目可能有更简洁的解法。
• 学习建议：做真题时，请务必先独立完成，再对照答案和解析，查漏补缺，总结方法。

2025年全国硕士研究生招生考试数学一试题

选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1. 当 $x \to 0$ 时，若 $x - \sin(ax)$ 与 $x^2 \ln(1 - bx)$ 是等价无穷小，则 (A) $a=1, b=-\frac{1}{6}$
   (B) $a=1, b=\frac{1}{6}$
   (C) $a=-1, b=-\frac{1}{6}$
   (D) $a=-1, b=\frac{1}{6}$

   
   （图片来源网络，侵删）

2. 已知函数 $f(x)=\begin{cases}x^2+1, & |x| \le c \ \frac{2}{|x|}, & |x| > c\end{cases}$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内连续，则 $c=$ (A) 0
   (B) 1
   (C) $\frac{1}{2}$
   (D) 2

3. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\int_0^1 f(x)dx=0$, $\int_0^1 xf(x)dx=0$. 证明：存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 $f''(\xi)=0$. (A) 0
   (B) 1
   (C) $\frac{1}{2}$
   (D) 2

4. 下列矩阵中,不能相似对角化的是 (A) $\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$
   (B) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$
   (C) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \ 2 & 3 & 0 \ 4 & 5 & -2 \end{pmatrix}$
   (D) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

5. 设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三维向量，则对任意的常数 $k, l$, 向量组 $\alpha_1 + k\alpha_3, \alpha_2 + l\alpha_3$ 线性无关是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关的 (A) 必要非充分条件
   (B) 充分非必要条件
   (C) 充分必要条件
   (D) 既非充分也非必要条件

   
   （图片来源网络，侵删）

6. 随机变量 $X, Y$ 独立同分布，且 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，则 $Z=\max{X, Y}$ 的分布函数为 (A) $F^2(x)$
   (B) $F(x)F(y)$
   (C) $1-[1-F(x)]^2$
   (D) $1-[1-F(x)][1-F(y)]$

7. 设 $X_1, X_2, \dots, Xn$ 是来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本，$\mu$ 已知，$\sigma^2 > 0$ 未知，则 $\sigma^2$ 的最大似然估计量是 (A) $\frac{1}{n}\sum{i=1}^n (Xi - \mu)^2$
   (B) $\frac{1}{n-1}\sum{i=1}^n (Xi - \mu)^2$
   (C) $\frac{1}{n}\sum{i=1}^n (Xi - \bar{X})^2$
   (D) $\frac{1}{n-1}\sum{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$

8. 设 $X$ 是离散型随机变量，概率分布为 $P(X=0)=\frac{1}{4}$, $P(X=1)=\frac{1}{2}$, $P(X=2)=\frac{1}{4}$. 则 $E(\cos(\pi X))=$ (A) $\frac{1}{4}$
   (B) $\frac{1}{2}$
   (C) $-\frac{1}{2}$
   (D) $-\frac{1}{4}$

填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。

9. $\lim_{x \to 0} (\cos 2x + 2x \sin x)^{\frac{1}{x^2}} = \underline{\quad}$

   
   （图片来源网络，侵删）

10. 曲线 $y=x \arctan x$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率半径为 $\underline{\quad}$.

11. 已知函数 $f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial y}=2y+e^{x^2}$, 且 $f(0,y)=y^2+e^{x^2}$, 则 $f(x,y) = \underline{\quad}$.

12. 设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与半球面 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 围成的空间区域，则 $\iiint_{\Omega} dxdydz = \underline{\quad}$.

13. 设 $\alpha$ 是三维单位列向量，$E$ 为三阶单位矩阵，则矩阵 $E - \alpha \alpha^T$ 的秩为 $\underline{\quad}$.

14. 设随机事件 $A, B$ 相互独立，且 $P(A)=P(B)=\frac{1}{3}$, 则 $P(A \cup B) = \underline{\quad}$.

解答题：15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. (本题满分10分) 求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x \cos 2x \cos 3x}{x^2}$.

16. (本题满分10分) 设数列 ${x_n}$ 满足 $x1 > 0$, $x{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{a}{xn})$ ($n=1, 2, \dots$), $a > 0$. (I) 证明 $\lim{n \to \infty} xn$ 存在，并求其极限值； (II) 计算 $\lim{n \to \infty} \frac{x_n - \sqrt{a}}{x_n + \sqrt{a}}$.

17. (本题满分10分) 设函数 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3 + xy^2 + x^2y + 6 = 0$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 的斜渐近线方程。

18. (本题满分10分) 设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上具有二阶连续导数，且 $f(1)=0$, $\int_0^2 f(x)dx=1$, $\int_0^2 xf(x)dx=1$. 证明：(I) 存在 $\eta \in (0,2)$, 使得 $f'(\eta)=0$； (II) 存在 $\xi \in (0,2)$, 使得 $f''(\xi)=-1$.

19. (本题满分10分) 设函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数，$z=f(x, xy)$, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.

20. (本题满分11分) 设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \ -1 & 1 & 1 \ 0