2025年考研数学二真题回顾
2025年数学二的整体难度被认为是适中偏难，题目在基础知识点上进行了一定的综合和拔高，对考生的计算能力、逻辑推理能力和综合应用能力要求较高，特别是选择题和填空题部分，有一些题目设置得比较巧妙，容易失分，解答题部分，线代的特征值问题和微积分的物理应用（如变力做功）是当年的难点。
第一部分：真题题目
选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
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当 ( x \to 0 ) 时，若 ( x - \sin(ax) ) 与 ( x^2 \ln(1 - bx) ) 是等价无穷小，则 ( ) A. ( a = 1, b = -\frac{1}{6} ) B. ( a = 1, b = \frac{1}{6} ) C. ( a = -1, b = -\frac{1}{6} ) D. ( a = -1, b = \frac{1}{6} )
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已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \le 1 \ \frac{2}{x}, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(x)) ) 的连续区间是 ( ) A. ( (-\infty, +\infty) ) B. ( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) ) C. ( (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) ) D. ( (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}, +\infty) )
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设函数 ( f(x) ) 在区间 ([-1, 3]) 上连续，在 ( (-1, 3) ) 内有唯一的极值点 ( x = c )，且 ( f(-1) = f(3) = 2 )，( f(c) > 2 )，则下列结论正确的是 ( ) A. ( f(x) ) 在 ( (-1, c) ) 内单调递增，在 ( (c, 3) ) 内单调递减 B. ( f(x) ) 在 ( (-1, c) ) 内单调递减，在 ( (c, 3) ) 内单调递增 C. ( x = c ) 是 ( f(x) ) 的极大值点 D. ( x = c ) 是 ( f(x) ) 的极小值点
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设函数 ( f(x) ) 在 ( [0, 1] ) 上二阶可导，且 ( \int_0^1 f(x)dx = 0 )，( \int_0^1 xf(x)dx = 1 )，则 ( ) A. ( f'(x) < 0 ) B. ( f'(x) > 0 ) C. ( f''(x) < 0 ) D. ( f''(x) > 0 )
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设 ( y = \frac{1}{2x+3} )，则 ( y^{(n)}(0) = ) ( ) A. ( \frac{(-1)^n 2^n n!}{3^{n+1}} ) B. ( \frac{(-1)^n n!}{3^{n+1}} ) C. ( \frac{(-1)^{n-1} 2^{n-1} (n-1)!}{3^n} ) D. ( \frac{(-1)^{n-1} n!}{3^{n+1}} )
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已知函数 ( f(x, y) ) 满足 ( \frac{\partial f}{\partial y} = 2y + x e^{xy} )，且 ( f(x, 0) = x^2 )，则 ( f(x, y) = ) ( ) A. ( y^2 + x e^{xy} + x^2 - x ) B. ( y^2 + x e^{xy} + x^2 ) C. ( y^2 + x e^{xy} + x^2 + x ) D. ( y^2 + x e^{xy} + x^2 + C ) (C为任意常数)
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设 ( \alpha ) 为 3 维单位列向量，( E ) 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 ( E - \alpha \alpha^T ) 的秩为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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已知矩阵 ( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ), ( B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ). 若矩阵 ( C ) 满足 ( AC = CB )，则 ( \text{rank}(C) = ) ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定
（图片来源网络，侵删）
填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。
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曲线 ( y = 2 \ln x - x^2 ) 在点 ( (1, -1) ) 处的曲率半径为 __。
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已知函数 ( f(x) ) 满足 ( \lim{x \to 0} \frac{\sqrt{1+f(x)\sin^2 x} - 1}{e^{3x} - 1} = 3 )，则 ( \lim{x \to 0} f(x) = ) __。
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微分方程 ( y'' - y' + \frac{1}{4}y = 0 ) 的通解为 ( y = ) __。
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设 ( D ) 是由曲线 ( y = \sqrt[3]{x} )，直线 ( x = 1 ) 及 ( x )-轴围成的平面区域，则二重积分 ( \iint_D (x^2 + y^2) dxdy = ) __。
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设 3 阶矩阵 ( A ) 的特征值为 1, 2, -1, ( E ) 为 3 阶单位矩阵，则行列式 ( |2A^* + 3E| = ) __。
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设 2 阶矩阵 ( A ) 的特征值为 1, 2，且 ( A^k ) (k为正整数) 的迹为 ( \text{tr}(A^k) = 2^k - 1 )，则 ( |A| = ) __。
解答题：15～23小题，共94分。
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(本题满分10分) 求极限 ( \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \sin(t^2)dt}{x^3} ).
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(本题满分10分) 设函数 ( y = y(x) ) 由方程 ( y^3 + xy^2 + \cos(xy) = 1 ) 确定，求 ( \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=0} ).
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(本题满分10分) 计算不定积分 ( \int \frac{\ln(1 + x)}{x^2} dx ).
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(本题满分10分) 设函数 ( f(x) ) 在 ( [0, 1] ) 上连续，在 ( (0, 1) ) 内可导，且 ( f(0) = 0 )，( f(1) = 1 ). 证明： (I) 存在 ( c \in (0, 1) )，使得 ( f(c) = \frac{1}{2} ). (II) 存在 ( \xi \in (0, c) )，( \eta \in (c, 1) )，使得 ( f'(\xi) f'(\eta) = 1 ).
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(本题满分10分) 求函数 ( u = x^2 + y^2 + z^2 ) 在约束条件 ( z = x^2 + y^2 ) 和 ( x + y + z = 4 ) 下的最大值和最小值。
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(本题满分11分) 计算三重积分 ( \iiint_{\Omega}
