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2025年考研数学一真题
选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
- 若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x[f(x) - 1]}}{x^2 \ln(1 + 2x)} = 1$，则 $f(0) = \underline{\quad}$。
- 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有二阶导数，且 $f(0) = 0$，$f(1) = \frac{1}{2}$，$\int_0^1 f(x) dx = 1$，则存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f''(\xi) = \underline{\quad}$。
- 设 $F(x, y, z) = x^2 y + y^2 z + z^2 x$，则 $\text{grad} F(1,1,1)$ 在方向 $\vec{n} = (1, 2, 2)$ 上的投影为 $\underline{\quad}$。
- 设 $\Sigma$ 是曲面 $z = x^2 + y^2$ ($0 \le z \le 1$ ) 的下侧，则 $\iint_{\Sigma} x dy dz + 2y dz dx + 3z dx dy = \underline{\quad}$。
- 已知 $\vec{\alpha}, \vec{\beta}$ 是三维单位列向量，且 $\vec{\alpha}^T \vec{\beta} = 0$，设 $A = \vec{\alpha} \vec{\alpha}^T + \vec{\beta} \vec{\beta}^T$，则 $A$ 的非零特征值为 $\underline{\quad}$。
- 已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ -2 & -4 & 2 \ 3 & 6 & -3 \end{pmatrix}$，则 $A^{100} = \underline{\quad}$。
- 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，数学期望 $E(X)$ 存在，若 $\lim_{x \to \infty} x[1 - F(x)] = 0$，则 $E(X) = \underline{\quad}$。
- 设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本，$\mu$ 未知，$\sigma^2$ 已知，则 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间长度 $L$ 满足 $\underline{\quad}$。
填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。
- 曲线 $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1} e^{\frac{1}{x-1}}$ 的渐近线方程为 $\underline{\quad}$。
- 设函数 $f(x)$ 连续，且 $f(x) = \int_0^x f(t) dt + 2$，则 $f(x) = \underline{\quad}$。
- 设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，$z = f(x, xy)$，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \underline{\quad}$。
- 已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续，且 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y) - x - y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 0$，则 $df(0,0) = \underline{\quad}$。
- 设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，$\vec{\alpha}_1, \vec{\alpha}_2, \vec{\alpha}_3$ 是线性无关的三维列向量，若 $A\vec{\alpha}_1 = \vec{\alpha}_1 + \vec{\alpha}_2 + \vec{\alpha}_3$，$A\vec{\alpha}_2 = \vec{\alpha}_2 + \vec{\alpha}_3$，$A\vec{\alpha}_3 = \vec{\alpha}_3$，则 $|A| = \underline{\quad}$。
- 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X \sim B(2, p)$，$Y \sim B(3, p)$，若 $P{X + Y = 1} = \frac{9}{16}$，则 $p = \underline{\quad}$。
解答题：15～23小题，共94分。
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(本题满分10分) 求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \sin(t^2) dt}{x^3}$。
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(本题满分10分) 设函数 $y(x)$ 由方程 $y = x \ln y$ 确定，求 $\frac{d^2 y}{dx^2}$。
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(本题满分10分) 计算二重积分 $\iint_D (x^2 + y^2) dxdy$，$D$ 是由曲线 $y = x^2$ 与直线 $y = x + 2$ 所围成的闭区域。
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(本题满分10分) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有连续导数，且 $f(0) = 0$，$\int_0^1 f(x) dx = 1$，证明： (1) 存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f'(\xi) = 0$； (2) 存在 $\eta \in (0,1)$，使得 $f'(\eta) = f(\eta)$。
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(本题满分10分) 将函数 $f(x) = \arctan x$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ 的和。
（图片来源网络，侵删） -
(本题满分11分) 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \ -1 & 1 & 1 \ 0 & -4 & -2 \end{pmatrix}$，$\vec{\xi}_1 = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 2 \end{pmatrix}$。 (1) 求满足 $A\vec{\xi}_2 = \vec{\xi}_1$，$A^2\vec{\xi}_3 = \vec{\xi}_1$ 的所有向量 $\vec{\xi}_2, \vec{\xi}_3$； (2) 对 (1) 中的任意向量 $\vec{\xi}_2, \vec{\xi}_3$，证明 $\vec{\xi}_1, \vec{\xi}_2, \vec{\xi}_3$ 线性无关。
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(本题满分11分) 设二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = ax_1^2 + ax_2^2 + (a-1)x_3^2 + 2x_1x_3 - 2x_2x_3$。 (1) 求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值； (2) 若二次型 $f$ 的规范形为 $y_1^2 + y_2^2$，求 $a$ 的值。
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(本题满分11分) 设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^{-|x|}, & x > 0 \ 0, & x \le 0 \end{cases}$。 (1) 求 $E(X)$ 和 $D(X)$； (2) 求 $E(X|X > 1)$。
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(本题满分11分) 设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{2\theta}, & 0 < x < \theta \ \frac{1}{2(1-\theta)}, & \
（图片来源网络，侵删）
