总体评价
2009年数学二真题整体难度中等偏上，区分度很好。
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优点：
- 紧扣大纲：所有题目都在考纲范围内，没有偏题、怪题。
- 基础与综合并重：大部分题目考察基本概念、基本理论和基本计算，但最后几道大题将多个知识点融合在一起，需要考生有清晰的知识网络和灵活的解题能力。
- 计算量适中：虽然计算是重点，但计算量没有达到令人绝望的程度，关键在于计算的准确性和思路的清晰度。
- 重点突出：高等数学部分占比最大，是得分的关键；线性代数部分题目新颖，区分度极高。
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难点：
- 线性代数：选择题第(6)题和填空题第(13)题是当年的“送命题”，直接考察了矩阵等价、相似、合同这三个极易混淆的概念，区分度非常高。
- 微积分综合题：第(17)题（微分方程与积分结合）和第(20)题（二重积分与级数结合）是典型的综合应用题，需要考生能熟练地将不同模块的知识点串联起来。
- 概念辨析：对基本概念的深入理解要求很高，比如第(6)题、第(11)题（导数定义）等。
分题型详细解析
选择题 (共8小题，每小题4分，共32分)
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(1) 当 ( x \to 0 ) 时，( f(x) = x - \sin(ax) ) 与 ( g(x) = x^2 \ln(1 - bx) ) 是等价无穷小，则
- 考点：无穷小的比较，泰勒展开或洛必达法则。
- 解析：
这是典型的等价无穷小问题，我们可以使用泰勒展开（洛必达法则也可，但计算稍繁琐）。
- 当 ( x \to 0 ) 时，( \sin(ax) = ax - \frac{(ax)^3}{6} + o(x^3) )，( f(x) = x - (ax - \frac{a^3x^3}{6}) + o(x^3) = (1-a)x + \frac{a^3x^3}{6} + o(x^3) )。
- 当 ( x \to 0 ) 时，( \ln(1-bx) = -bx - \frac{(bx)^2}{2} + o(x^2) )，( g(x) = x^2(-bx - \frac{b^2x^2}{2}) + o(x^4) = -bx^3 + o(x^3) )。 要使 ( f(x) \sim g(x) )，即 ( \lim{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 )。 [ \lim{x \to 0} \frac{(1-a)x + \frac{a^3x^3}{6} + o(x^3)}{-bx^3 + o(x^3)} = 1 ] 为了使极限存在且为1，分子和分母的最低次幂必须相同，分子中 ( x ) 的系数必须为0，即 ( 1-a = 0 )，( a=1 )。 代入 ( a=1 )，极限变为： [ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^3x^3}{6} + o(x^3)}{-bx^3 + o(x^3)} = \frac{1/6}{-b} = 1 ] 解得 ( b = -\frac{1}{6} )。
- 答案：A
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(2) ... (此题为常规题，考察函数的极值，此处省略)
（图片来源网络，侵删） -
(3) ... (此题考察不定积分，常规题)
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(4) ... (此题考察微分方程，常规题)
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(5) ... (此题考察多元函数微分学，常规题)
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(6) 设 ( \alpha, \beta ) 为三维列向量，矩阵 ( A = (\alpha, \alpha, \beta) )，( B = (\alpha, \beta, \alpha) )，已知 ( |A| = 2 )，( |B| = 1 )，则 ( |A + B| = )
（图片来源网络，侵删）- 考点：行列式的性质，矩阵加法。
- 解析： 这是当年的一大难点，关键在于理解矩阵加法对行列式的影响。 ( A = (\alpha, \alpha, \beta) )，( B = (\alpha, \beta, \alpha) )。 ( A+B = (\alpha+\alpha, \alpha+\beta, \beta+\alpha) = (2\alpha, \alpha+\beta, \alpha+\beta) )。 我们需要计算 ( |A+B| = |2\alpha, \alpha+\beta, \alpha+\beta| )。 观察到矩阵的第2列和第3列是相同的（都是 ( \alpha+\beta )），根据行列式的性质，若行列式中有两列（或两行）完全相同，则行列式的值为0。 ( |A+B| = 0 )。 （陷阱提醒：很多考生会试图用 ( |A+B|=|A|+|B|=3 )，这是完全错误的，行列式没有这个性质。）
- 答案：D
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(7) ... (此题考察线性方程组解的结构，常规题)
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(8) ... (此题考察特征值和特征向量，常规题)
填空题 (共6小题，每小题4分，共24分)
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(9) ... (此题考察极限，常规题)
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(10) ... (此题考察不定积分，常规题)
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(11) ( \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int{0}^{x^2} \sin t^2 \mathrm{d}t \right){x=\sqrt{\pi/2}} = )
- 考点：变上限积分求导，链式法则。
- 解析： 设 ( F(x) = \int{0}^{x^2} \sin t^2 \mathrm{d}t )。 根据变上限积分求导法则和链式法则： [ \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = \sin((x^2)^2) \cdot \frac{\mathrm{d}(x^2)}{\mathrm{d}x} = \sin(x^4) \cdot 2x ] 现在求 ( x = \sqrt{\pi/2} ) 时的值： [ \left. \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} \right|{x=\sqrt{\pi/2}} = \sin\left( (\sqrt{\pi/2})^4 \right) \cdot 2 \cdot \sqrt{\pi/2} = \sin\left( (\pi/2)^2 \right) \cdot \sqrt{2\pi} = \sin(\pi^2/4) \cdot \sqrt{2\pi} ]
- 答案：( \sqrt{2\pi} \sin\left(\frac{\pi^2}{4}\right) )
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(12) ... (此题考察多元函数微分，常规题)
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(13) 设 ( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & a & 1 \ 3 & 3 & 4 \end{pmatrix} )，( B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & 3 & 0 \ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} )，已知 ( R(AB) = 2 )，则 ( a = )
- 考点：矩阵的秩，矩阵的等价。
- 解析： 这是当年的另一个大难点，解题的关键在于理解矩阵秩的性质。 ( R(AB) = 2 )。 观察
